本网讯（通讯员田宇曦）2021年4月22日中午12点半，新澳网官方网站（中国）股份有限公司官网在振华楼B107报告厅举办了第十二次教师午餐研讨会活动。逻辑学教研室申国桢老师作了关于“无穷：从模糊到精确 ”的主题报告。学院20余名老师参与此次午餐会活动。

首先，申老师指出无穷一开始是十分模糊的概念，直至19世纪末这一概念才逐渐变得清晰。无穷二字最早出现于张衡的“宇之表无极，宙之端无穷”这一句话，表示了宇宙的无边无际、无限延伸。而后，在报告中申老师先向大家阐释了无理数的发现和第一次数学危机。他指出是由毕达哥拉斯学派开始提出万物皆数，万物皆数指的是一切事物都可以用自然数表达出来，比如有理数的小数点后数可以无限但有循环节，因此可以被看作是有穷的对象。他详细地介绍了无理数产生的历史，无理数的产生源自于毕达哥拉斯定理即勾股定理的出现，导致了毕达哥拉斯的门徒希帕索斯发现了第一个无理数根号二，希帕索斯发现当一个直角三角形的两个直角边都是1的时候，斜边就是一个无理数。申老师强调无理数是无限的不循环小数，根号二作为第一个无理数是无法完全认清的数。然而，申老师指出希帕索斯的原始证明已经无从得知，现在最常见的无理数证明是欧几里得在几何原本里面对根号二是无理数的证明。并向大家解读了欧几里得的五条公理与五条公设，强调欧几里得的几何原本一书是第一个用亚里士多德的形式逻辑构建无理数的范本。同时，通过亚里士多德的“无穷的真正含义，不是此外全无，而是此外永有。”这一句话，申老师解释了潜无穷和实无穷这两个概念，潜无穷是无限更迭的、不断延伸的东西，而实无穷是实在的物体，是可以把握的东西。

接着，申老师分析了第二次数学危机与分析的算术化。他详细地介绍了伽利略悖论，伽利略发现两个同心圆上的点是可以一一对应的，而自然数和偶数也是可以一一对应，这就与欧几里得的整体大于部分这一公理产生了矛盾，无穷成为了无法认清的概念。后面，他介绍了第二数学危机引起的震动。首先笛卡尔解析几何的创立标志了微积分的诞生，牛顿在笛卡尔的基础上创立了微积分，但是微积分随意使用无穷小量，把无穷小量当做实无穷存在着一些问题。申老师强调微积分创立初期存在的逻辑混乱问题，是因为一开始人们处于应用的角度，主要在构建上层的建筑而忽视了底层的基础。而直到19世纪中后期，柯西创立了极限理论，通过极限理论严格定义微积分，才通过潜无穷理论化解与解释实无穷理论。维尔斯特拉斯的实数理论严格构造了实数，已经可以清晰说明无理数和极限理论。到了19世纪末期，皮亚诺、弗雷格等人可以清晰地解释了自然数。

紧接着，申老师分析了无穷集合论与第三次数学危机。从弗雷格与逻辑学的公理化开始谈起，申老师指出弗雷格在《概念文字》这篇文章中把逻辑学公理化，虽然对现在来说其中有很多公理是不必要的，但是不可否认这一开创性工作是现代逻辑的起点。申老师也详细解释了康托创立的无穷集合论，他指出康托真正地把实无穷作为对象引入集合，提供了认清无穷这一概念的一种重要方法，康托放弃了整体大于部分这一公理，把无穷区分为可数的集合和不可数的集合，可数的集合可以和自然数一一对应，有理数集合就是可数的集合而实数集合是不可数的集合。并且强调康托的无穷集合论是对当时超越数的这一问题的一种解决方式。同时，申老师指出弗雷格在康托基础上提出了外延公理和内涵公理，然而罗素指出内涵公理是不理智的，通过理发师悖论证明了漫无目的使用内涵公理会出现问题。并强调了罗素通过对概念的分层而把数学还原为逻辑的基本立场。而后，申老师又介绍了其他数学家的观点，如希尔伯特走形式主义路线放弃集合论而在数学公理中一步一步论证，哥德尔认为希尔伯特路线走不通，我们无法证明集合中的矛盾只能持观望态度。

最后，申老师以希尔伯特的“我们必须知道，我们必将知道”这一句话结束这次报告。老师们也对公理、逻辑等相关问题展开了深入的讨论，如周老师就提出了现在的集合论是否存在危机，这一危机是什么？以及无理数是否是实体存在的物体即实无穷的存在的这两个问题。李勇老师从相对主义角度出发讨论数学、逻辑、公理这些东西是否是独立的、必然的、客观存在的这一问题，以及排中律的可靠性问题。

（编辑：邓莉萍   审稿：严璨）